fi/luentoja/logiikka/valttamattomyys.txt
2004-02-25
Logiikasta, osa 2: Välttämättömyydestä ja malleista
Aiemmin ilmestynyt: Logiikasta, osa 1: Johdantoa
Logiikassa lähdetään siitä oletuksesta, että jokaisella suljetulla lauseella on totuusarvo: joko se on tosi tai sitten se on epätosi. Mitään kolmatta vaihtoehtoa ei ole - tätä periaatetta sanotaan poissuljetun kolmannen laiksi (law of the excluded middle). Tässä suhteessa loogikko on realisti: hän uskoo objektiiviseen reaalimaailmaan. Toinen oletus, minkä logiikka tekee, on että jokainen termi nimeää jonkin olemassaolevan otuksen.
Logiikkaa tehtäessä pitää kuitenkin muistaa yksi tärkeä sääntö: kaavoilla ei ole sisäsyntyistä merkitystä. Se, että AnttiJuhaniKaijanaho on logiikan vakiosymboli, ei tarkoita, että se välttämättä viittaisi minuun. Kaavat ovat vain merkkijonoja, jotka käyttäytyvät sovituilla tavoilla. Ainoat symbolit, joiden merkitys on vakio, ovat sulut, pilkut ja yhtäsuuruusmerkki (nämä ovat loogisia vakioita). Logiikan suljetut lauseet luokitellaankin kolmeen kategoriaan:
- validit lauseet eli tautologiat eli välttämättä todet lauseet
- Nämä lauseet ovat tosia riippumatta siitä, mitä niissä esiintyvien vakiosymbolien ja predikaattisymbolien merkityksiksi katsotaan.
- invalidit lauseet eli ristiriidat eli välttämättä epätodet lauseet
- Nämä lauseet ovat epätosia riippumatta siitä, mitä niissä esiintyvien vakiosymbolien ja predikaattisymbolien merkityksiksi katsotaan.
- kontingentit lauseet
- Näiden lauseiden totuusarvo riippuu siitä, miten siinä olevat vakio- ja predikaattisymbolit tulkitaan.
Melkein kaikki lauseet ovat kontingentteja. Esimerkki tautologiasta on lause AnttiJuhaniKaijanaho = AnttiJuhaniKaijanaho ja esimerkki ristiriidasta on AnttiJuhaniKaijanaho = KariKaijanaho.
Olen tähän asti väittänyt, että logiikan lauseiden merkitys johdetaan siitä, missä suhteissa lauseiden vakiosymbolien nimeämät yksilöt reaalimaailmassa on. Useimmiten näin ei kuitenkaan logiikassa enää ajatella. Sen sijaan maailmasta rakennetaan malleja, jotka sitten otetaan logiikan merkityksen pohjaksi.
Todettakoon tässä välissä, että kaikkien vakio- ja predikaattisymbolien muodostamaa vekotinta sanotaan aakkostoksi. Aakkostoja on monenlaisia.
Olkoon V jokin aakkosto. Olkoon meillä jokin kokoelma U. Ainoa asia, mikä meitä tuossa kokoelmassa kiinnostaa, on se, että se ei ole tyhjä. Se, mitä kokoelmaan kuuluu, ei kiinnosta, kunhan siihen kuuluu jotain; kutsukamme U:ssa olevia yksilöiksi. Olkoon meillä lisäksi kuvaus m, joka yhdistää aakkoston V vakiosymbolit U:n yksilöihin niin, että kuhunkin vakiosymboliin liittyy tasan yksi yksilö ja kuhunkin yksilöön liittyy enintään yksi vakiosymboli (mutta kaikkiin yksilöihin ei välttämättä liity vakiosymbolia). Huomaa, että U:ssa pitää olla ainakin niin monta yksilöä kuin aakkostossa V on vakiosymboleita. Liittäköön m myös jokaiseen V:n predikaattisymboliin johonkin kokoelmaan U:ssa olevien yksilöiden muodostamia jonoja niin, että predikaattisymbolin paikkaluku on sama kuin jonoissa olevien yksilöiden määrä. Kokoelma U ja kuvaus m muodostavat aakkoston V erään struktuurin. Kokoelmaa U sanotaan tällöin kaikkeudeksi ja kuvausta m (aakkoston) tulkinnaksi.
Struktuuria voidaan pitää reaalimaailman osan mallina: kaikkeuteen kuuluvat ne reaalimaailman yksilöt, joita halutaan tarkastella, ja aakkoston tulkinta kertoo, miten vakiosymbolit ja predikaattisymbolit pitää tässä mallissa tulkita.
Aakkostosta V voidaan muodostaa ns. yksinkertainen atomikieli seuraavasti:Atomikielessä on kahdenlaisia merkkijonoja: termejä ja kaavoja.
Mikä tahansa muuttuja yksistään on yksinkertaisen atomikielen termi.
Mikä tahansa aakkoston V vakiosymboli yksistään on aakkostosta V muodostetun yksinkertaisen atomikielen termi.
Aakkostosta V muodostetussa yksinkertaisessa atomikielessä ei ole muunlaisia termejä.
Jos t ja u ovat aakkostosta V muodostetun yksinkertaisen atomikielen termejä, niin t = u on aakkostosta V muodostetun yksinkertaisen atomikielen kaava.
Jos P on aakkoston V predikaattisymboli, jonka paikkaluku on N, ja jos t1, ..., tN ovat aakkostosta V muodostetun yksinkertaisen atomikielen termejä, niin P(t1, ..., tN) on aakkostosta V muodostetun yksinkertaisen atomikielen kaava.
Jos P on aakkoston V predikaattisymboli, jonka paikkaluku on 2, ja jos t ja u ovat aakkostosta V muodostetun yksinkertaisen atomikielen termejä, niin t P u on aakkostosta V muodostetun yksinkertaisen atomikielen kaava.
Aakkostosta V muodostetussa yksinkertaisessa atomikielessä ei ole muunlaisia kaavoja.
Huomaa, että yksinkertainen atomikieli on oleellisesti sama kieli kuin edellisessä osassa tarkasteltu "logiikan kieli". Nyt se on vain määritelty tarkemmin, mm. käyttäen hyväksi aakkoston käsitettä.
Edellisessä osassa annettujen esimerkkien aakkostoksi kelpaa sellainen, jonka vakiosymbolit ovat AnttiJuhaniKaijanaho ja KariKaijanaho ja jonka predikaattisymbolit ovat OnSukua (paikkaluku: 2) ja OnLihava (paikkaluku: 1).
Yksinkertaisen atomikielen semantiikka eli merkitysoppi määritellään seuraavasti:Olkoon V aakkosto. Meritään L:llä aakkostosta V muodostettua yksinkertaista atomikieltä. Olkoon lisäksi S jokin aakkoston V struktuuri, jonka kaikkeus on U ja jossa aakkoston tulkinta on m.
L:n termin, joka on aakkoston vakiosymboli, merkitys on se U:n yksilö, jonka m tuohon vakiosymboliin liittää.
Olkoot t ja u kielen L termejä. Tällöin L:n kaavan t = u merkitys on väite
t:n merkitys on sama U:n yksilö kuin u:n merkitys.Olkoon P jokin aakoston predikaattisymboli ja olkoon sen paikkaluku N. Olkoot lisäksi t1, ..., tN kielen L termejä. Merkitään kunkin termin tI merkitystä dI:llä. Merkitään lisäksi sitä yksilöiden muodostamien jonojen kokoelmaa, johon m P:n liittää, R:llä. Nyt kielen L kaavan P(t1, ..., tN) merkitys on väite
yksilöiden d1, ..., dN jono kuuluu kokoelmaan R.Olkoot t ja u kielen L termejä ja olkoon P jokin aakkoston sellainen predikaattisymboli, jonka paikkaluku on 2. Tällöin L:n kaavan t P u merkitys on sama kuin kaavan P(t, u) merkitys.
Termillä tai kaavalla, jossa on muuttujia, ei ole merkitystä.
Huomaa, kuinka kaavan ja termin merkitys on vahvasti sidoksissa käytettyyn struktuuriin. Merkitysoppi määrittelee kaavan totuusarvon, mutta tämän totuusarvon pitää ymmärtää olevan kiinni valitusta struktuurista. Tilanne on samanlainen kuin yllä: silloin sanoin, että totuusarvo riippuu siitä. miten symbolit tulkitaan.
Tässä tulemmekin tämän osan päälauseeseen: Logiikan tutkimuksen pääkohteena on selvittää, mitä voidaan sanoa termeistä ja kaavoista tarkastelemalla niitä yleisesti, sitoutumatta mihinkään tiettyyn struktuuriin. Yllä esitetty jako joudutaan nyt uudistamaan:
- validit kaavat eli tautologiat eli välttämättä todet kaavat
- Nämä kaavat ovat tosia kaikissa kaavan kirjoittamiseen käytetyn aakkoston struktuureissa.
- invalidit kaavat eli ristiriidat eli välttämättä epätodet kaavat
- Nämä kaavat ovat epätosia kaikissa kaavan kirjoittamiseen käytetyn aakkoston struktuureissa.
- kontingentit kaavat
- Näiden kaavojen totuusarvo riippuu siitä, missä struktuurissa niitä tarkastellaan.
Struktuureja sanotaan toisinaan mahdollisiksi maailmoiksi. Tämä ilmaisu tulee siitä ajatuksesta, että kontingentti kaava ilmaisee mahdollisesti totta asiantilaa: kontingentti väite on tosi tai epätosi riippuen siitä, minkälaisia valintoja olemme sattuneet tekemään tai minkälainen sää tänään on tai ... Joskus on kiva ajatella, että jokainen valinnan paikka on risteys: siitä eteenpäin on monta mahdollista maailmaa, ja se, mikä maailma on todellinen, riippuu tehdystä valinnasta. Vastaavasti voidaan ajatella, että on olemassa mahdollinen maailma, jossa 26.2.2004 kello 12:15 Jyväskylässä sataa, sekä on olemassa mahdollinen maailma, jossa tuohon aikaan Jyväskylässä ei sada. Väite "Jyväskylässä sataa 26.2.2004 kello 12:15" on kontingentti, koska on olemassa kaksi mahdollista maailmaa, joista toisessa se on tosi, toisessa ei. Sen sijaan validi kaava tai ristiriita on täysin näistä tekijöistä riippumaton, sen ajatellaan olevan välttämättä tosi tai epätosi, se on tosi kaikissa mahdollisissa maailmoissa.
Seuraavalla kerralla puhutaan joko funktioista tai lausekielestä, en ole päättänyt.
(Jos on kysyttävää tai kommentoitavaa, esitäthän kysymyksesi kommenttiosastolla.)
22:01 - /fi/luentoja/logiikka - 5 comments
