fi/luentoja/logiikka/johdanto.txt
2004-01-31
Logiikasta, osa 1: Johdantoa
Moderni klassinen logiikka (onpa siinäkin oksymoroni) on johdonmukaisen ajattelun mekanisointia tutkiva tieteenala. Se sijaitsee jossakin filosofian, matematiikan ja tietojenkäsittelytieteen välimaastossa; kullekin se on tärkeä menetelmätiede ja kukin niistä on antanut loogikoille paljon hyviä tutkimusongelmia. Haluaisin sanoa, että logiikka on matematiikan matematiikkaa ja filosofian filosofiaa; tietojenkäsittelytieteelle se on yhtä aikaa sekä tutkimusmenetelmä että tutkimuskohde.
Sanoin yllä "moderni klassinen logiikka". Tässä ilmaisussa on oma järkensä: kyseessä on varsin moderni logiikan osa (logiikka tieteenalana on tuhansia vuosia vanha, mutta moderni logiikka syntyi 1800-luvulla), mutta kyseessä on myös klassinen logiikka (se on suoraa seurausta Aristoteleen logiikalle, mutta loogikot ovat sittemmin kehittäneet monia ei-klassisia logiikoita kuten modaalilogiikat). Yhtä hyvin voisi puhua klassisesta modernista logiikasta, sillä kysessä on vanhin modernin logiikan alalaji.
Logiikan perustaksi voidaan ottaa idea siitä, että etsitään täsmällistä ja yksikäsitteistä ilmaisua tosiasioille. Täsmällisyyden ideaaliksi otetaan matemaattinen notaatio, jonka kaikki sivistyneet ihmiset ymmärtävät samalla tavalla.
Logiikan maailmankuva on yksinkertainen: maailma koostuu yksilöistä (tässä yksilöiksi lasketaan myös kaikki kasvit, eläimet, elottomat esineet, pienimmätkin alkeishiukkaset, suurimmatkin galaksit ja muut sellaiset) Tosiasiat ovat yksilöiden ominaisuuksia ja yksilöiden välisiä suhteita. Esimerkiksi minä ja isäni olemme yksilöitä ja meidän välillämme on poika-isä-suhde.
Logiikan kieli koostuu kahdesta asiasta: termeistä eli kaavoista, joista jokainen nimeää jonkin yksilön, sekä lauseista, jotka väittävät jotain. (Loogikot kutsuvat lauseita kaavoiksi, mutta ei anneta sen häiritä tässä.)
Yksinkertaisin termi vakiosymboli eli jonkin yksilön nimi. Logiikan kaavoissa vakiosymbolit ovat yleensö yksisanaisia (monisanaiset nimet kirjoitetaan jollakin tavalla yhteen, esimerkiksi AnttiJuhaniKaijanaho). Vakiosymboli nimeää sen yksilön, jonka nimi se on.
Termi voi olla myös muuttujasymboli, joka pitää yksilön nimen paikkaa: muuttujasymboli voidaan korvata toisella termillä, esimerkiksi vakiosymbolilla, milloin vain (kunhan sama muuttuja korvataan kaikkialla samalla termillä). Muuttujat vastaavat luonnollisen kielen pronomineja.
Termejä voidaan muodostaa myös funktiosymbolien avulla, mutta sivuutetaan se nyt tässä.
Yksinkertaisin lause on yhtälö: se koostuu kahdesta termistä, joiden välissä on yhtäsuuruusmerkki. Yhtälö väittää, että termit nimeävät saman yksilön. Esimerkiksi AnttiJuhaniKaijanaho = AnttiJuhaniKaijanaho on tosi yhtälö, AnttiJuhaniKaijanaho = KariKaijanaho on epätosi yhtälö.
Lauseita voidaan muodostaa myös predikaattisymbolien avulla. Predikaattisymbolit muistuttavat ulkoisesti vakiosymboleita, mutta niillä on eri merkitys ja tehtävä. Kukin predikaattisymboli edustaa yksilön ominaisuutta tai yksilöiden välistä suhdetta. Jos predikaattisymbolin perään kirjoitetaan tietty määrä termejä (sulkeiden sisällä, pilkuilla toisistaan erotettuina), saadaan predikaattilause. Toisinaan predikaattisymboli kirjoitetaan kahden termin väliin; niin saadaan aikaan lause, joka tarkoittaa täsmälleen samaa kuin jos samat termit kirjoitettaisiin saman predikaattisymbolin perään. Esimerkiksi AnttiJuhaniKaijanaho OnSukua KariKaijanaho on sama lause kuin OnSukua(AnttiJuhaniKaijanaho, KariKaijanaho) - kumpikin väittää, että minä olen sukua isälleni.
Sanoin edellä, että predikaattisymbolin perään kirjoitetaan tietty määrä termejä. Kyse tässä on siitä, että kuhunkin predikaattisymboliin littyy jokin positiivinen luku, sen paikkaluku: tämä luku kertoo, montako termiä predikaattisymbolin perään saa ja pitää laittaa. Predikaattisymbolin paikkaluku riippuu siitä, mitä suhdetta (tai ominaisuutta) se edustaa: OnLihava on ominaisuus ja siksi sen paikkaluku on 1; OnSukua on kahden yksilön välinen suhde, ja siksi sen paikkaluku on 2.
Tämän osan lopuksi mainitsen vielä erään asian muuttujista: jos yhtälössä tai predikaattilauseessa esiintyy muuttuja, kyse on niin sanotusta avoimesta lauseesta. Avoin lause ei sinänsä väitä mitään; sen sijaan, jos sen muuttujasymbolit korvataan vakiosymboleilla (sama muuttujasymbolilla toki aina samalla vakiosymbolilla), saadaan lause, joka on tosi tai epätosi (ns. suljettu lause) Esimerkiksi väite OnLihava(x) on avoin lause, mutta kun siinä x korvataan jollakin vakiolla, saadaan suljettu lause, esimerkiksi OnLihava(AnttiJuhaniKaijanaho).
Muutama tehtävä: Keksi yksilöiden välisiä suhteita kuvaavia väitteitä ja kirjoita ne logiikan kielellä. Vastaukset kommenttiosastolle, kiitos.
Seuraavalla kerralla puhutaan välttämättömyydestä ja mahdollisista maailmoista sekä esitellään mallin käsite. Toivottavasti päästään myös käsiksi funktiosymboleihin.
(Jos on kysyttävää tai kommentoitavaa, esitäthän kysymyksesi kommenttiosastolla.)
01:04 - /fi/luentoja/logiikka - 6 comments
